同学们，你相信吗？一个学习方法的掌握，让中等水平的学生都会解难题、竞赛题、奥数题，而且就在很短的时间里。再说，竞赛题能解，书上还有难题吗？

顾名思义，难题分解,当然是把难解的题分解。分解成容易的题， 基本概念题，一步头的题，一眼就看出来的题，人人都能做出来的题， 这应该是学习方法的重大突破。

下面我们通过实例，让每位读者相信这是真的，没有什么了不起， 让每位同学都能学会，掌握。最后分析该方法的奥秘、理论根据、实践结果，优缺点。

一个真实的例子

               2014 年 10 月，沈阳市黄山路一个课后补习班上，十几个学生正在进行入学测试，他们大多来自北陵中学。一个老师拿出奥数竞赛题集，翻到应用题部分，第 24 题，让学生看，学生看过后，茫然不知所措的说：“我数学平均也就是 70 分，容易的题能做，难题不行，这奥数可比书上的难题还要难几倍。每次比赛，全班只有一个学生有资格参加，那是 100 分的学生，我们连想都不敢想。现在我们做不了， 我们还是走吧，不学了。

      老师说：“稍等一会再走，你能读题吗？”学生说：“读当然行”，接着开始读。读了第一句，老师说：“停，想想，想到什么记下来”，学生记下第一个分析结果，老师又说：“再读”，第二句读完，老师又说“停，自己想”，学生又把想到结论记下来，接着第三句又重复这个过程，然后读第四句，又重复上面过程。老师说：“往下看”，学生一看，题目要求的答案已经作出了。

      学生立即瞪大了眼睛：“怎么回事？我做出来了。”他又把书拿过来，看了又看，这真是奥数题集，我也能做奥数题，前后不过几分钟。另一个班，一个叫刘 XX 的女生，是光明中学优秀生，只是过去都在 90 分左右转，用新学习方法，三节课后就在100 分左右转。

      XX 中学校长也带了学生来试验，完全成功。房地产老板李 XX 也带着孩子来试验，用新方法，几分钟，当场就把过去不会做的题做出来了。

芝加哥希林大学的数字老师 wendy 说:奥数题难就难在绕，绕了好几个弯子，学生就糊涂了，你把几个弯子分解了，成了几段直线， 解决了绕湾子，挺好。

       二是这个方法对中等生、低等生也管用，这可是个大好事。当然， 对尖子生更有用

这里有什么决窍吗？怎么普及？

         要说一点技巧没有，也不对，但是揭开之后，肯定不难，想想看， 中等水平学生几分钟就行，能有多难？

好，我们也不想卖关子，现在就一齐揭秘。

       从学习方法上讲，也就是大家都知道的，‘一步一步分析法’。过去，大家都知道，这种方法很有用，但是谁也不敢保证，它肯定能解出来任何难题，竞赛题，更没有把握解奥数题。对这种方法的研究， 仅仅停留在初始阶段，一般深度，解决的问题很有限，作用有限。

        今天同样的方法，我们都让中等水平的学生解书上难题，竞赛题，一些奥数题，而且当场试，几分钟见效果。肯定与过去的 ‘一步一步分析法’有区别，显然这里面还有一点奥秘，那就是，它增加了一些具体方法，细节方法，方法的延伸，就是这个延伸部分，却产生了神奇的效果。目前，用这种方法，奥数题集已解绍很多if，少数高难度题可能还要加强训练，但也有望解决，至于书上的题，还没出现困难。可以说，该方法成了解难题的关键。

下面通过录像讲解一遍（附文字说明）

(如果是成人读者，对小学分数除法概念记不清，请花 2 分钟温习一下，以便完全体会这种方法的神奇作用：一包苹果的1 /2是 5 公个斤，这包苹果有多重？你可能 5 秒钟算出来，10 公斤，那么请写出算式，稍微停 10 秒，你可以写出：5÷ 1/2 =10 公斤；好，请问：一包苹果的1/5 是5 ㎏，（Kg：公斤）这包苹果有多重？你会说 25 ㎏，你应该可以写出：5÷1/5=25㎏。好，再来一句巩固一下：一包苹果的2/5是 5 ㎏，这包苹果有多重？请写出算式，口算有点难，但是还是能写出：5÷2/5=5×5/2=12.5 ㎏)

下面同学们请看题：请开始，看着手表什计算时间

小红用三天看完一本书，第一天看完了全书的1/3，第二天看了余下的2/5，已知第二天比第三天少看 24 页，这本书共有多少页？

学生一看完，似乎有点想法，但又有点糊涂，毕竟是平均 70 分的学生， 呆呆的不知从那下手。

老师说：“读”，学生读完一句，老师说：“停，把想到的写下来。”学生写了“三天读一本书”，老师说“再读”，学生读第二句，老师说 “停，看看能想出什么，把所有能想到的都记下来”，学生写：第一天1/3，又想想，又写下：剩下二天读的（1-1/3=2/3）是2/3，老师说“再读一句”，“再想”，学生读了第三句“第二天看余下的2/5",思考一下，我已经找到余下是2/3, 第二天读的，当然是剩下两天2/3的2/5，写上2/3×2/5=4/15，学生正要往下读，老师阻止了他，“不急，再想想”

学生想想：第一天读1/3，第二日4/15，当然可以知道第三天的，写下：第三天可以求了，1-1/3-4/15=2/5，这也不难；老师说“不急，还可以想想吗？还会想出什么？”，学生看看，说：“每天读的都有了，没有了，没有什么了，还有什么，无非第三天2/5大，第一天1/3小，第二天4/15，好象更小，还有什么？无非每俩天可以相加，相减，有必要想这么多吗？”学生说“想不出来什么”，老师说“好，想到每两天可以相加，相减，很好，恐怕你没有想到，这个很简单的想法，非常容易的想法，似乎多余的想法，却是竞赛题的关键，请再读一句。” 当学生读到：“第二天比第三天少看 24 页”，老师说：别急，读到第二天比第三天少看……，停一停，不要读完，想想，’。学生只能又一次读到：“第二天比第三天少看……,”学生又说：我已知第三天2/5，第二天4/15， “那么第二天比第三天少看……，”两个数相减 2/5-4/15=2/15，这是两天读的差占全体比例，老师说“现在，读完这一句。”当学生读到：‘第二天比第三天少看 24 页”时，很兴奋，我刚刚已经求出来这两天的差 （占整体的比例）那么用 24页一除就行了。那么总数就有了，24÷2/15=180 老师说：“读。”当学生看最后一句时， 高兴的笑了：我已经做出来了。老师问：几分钟？学生回答：3 分 45 秒。

学生赶紧把教科书拿来，翻到封面，仔细看看，真是奥数题集， 老师问他，“我讲没讲数学定理？数学概念？”“没有”，“教你做题吗？” “没有”，是啊，就是“停、想想、”，这几个与数学不沾边的三个字，谁都会说；这个“停,想想、”三岁小孩也会说，整个过程就是简单的加减乘除，就是有个分数除法比较难，也不难，也是一步头的问题。已经做过很多分数除法练习了，死记硬背都知道了， 可是……可是用简单的加减乘除，居然作出奥数题，真是不可思议， 这个方法太容易，是不是从今以后，我能做难题、奥数题了？而且只用 3 分 45 秒！我是优秀生了？

旁边的学生也都说：“这有什么了不起，我也会了，我也能做奥数题了，我会了，会了，没有什么了不起。”

老师又提醒了一下：“且慢，不要骄傲，你入门了，总体方法有了，能解一批难题，视乎比过去聪明了，但是，还有一个‘但是’，还有一些细节、具体方法，你们没有完全掌握，再说，没有锻炼，不熟练， 要知道有时候细节也决定胜负。还要再练几周。”

现在看下一道题 （请看手表）

某工程队修一段路，第一天修了全长的1/5多 100 米，第二天修的比第一天的4/5多 20 米，第三天修 600 米，正好修完，这段公路全长是多少？

学生们看完题，又是一片茫然，刚才的狂劲消失了，只有两个85 分的学生开始一步一步分析、画图。当她们读了第二句:“第一天修了全长的1/5多 100 米”，画出了

又写出 1-1/5=4/5（大弧线是全长的4/5，包括 100 米）但是第三句看完，久久下不了笔，说“老师，按你的办法也不行”。

老师笑笑：“首先你俩迈出重要的一步，知道一点一点分析，良好的开端，已经成功了一半，不过一点一点分析法，没有用准确。如果用准确，一定会成功。还有一点细节方法，方法的延伸，只要再多学习一点，可能会多解一大批题。”

“好，大家一齐来，还是老办法，读第一、二句，记下所想的。”大家读了两句，写出：第一天1/5，外加 100 米，1-1/5=4/5，但是在图中，100米是包含在4/5里面的。大家也都用图画出了

少数同学停一会，才把1/5剩下的4/5标出来。

老师：“继续读”，学生：“第二天比第一天的4/5多——”，老师赶紧插话：“停住”，“不许往下读”，“想想”。于是大家分析：第一天的4/5，第一天是1/5与 100 米，两个数f的4/5，又是比例，又是 100米，怎么办？一个学生说：第一天1/5的4/5好求，1/5×4/5=4/25，可是还有个100 米，它不是总数的比例，怎么办，这 100 米的4/5, 突然几个学生都说 100 米的4/5是 80 米，即 100 米×4/5=80 米，那么第一天1/5的4/5，就是1/5×4/5, 加 100 米×4/5=80 米。

“好”，老师说：“这里也就是把第一天的1/5和 100 米分开，一个一个解决，一个一个相乘，又是一个难题分解。”

“关键已经有了，把第一天的1/5与第一天的 100 米分开分析，饭要一口一口的吃，已知条件必须一个一个分析，特别是难题，千万不能把几个条件放在一起分析，奥数难就难在这里，如果一齐读完第三句，第三句有两个条件，4/5, 还有 20 米，与前面一句两个条件相结合，就是四个条件，放在一起，可以分析出非常多的结果，比较多的数据同时出现，一般同学就闷了，脑子就乱了，如果只读半句，只读一个条件，就开始分析，结合前面的已知条件分析，就容易得多，把第三句的半句中条件4/5当成一道题，结合前面的条件，认真分析，比较轻松；而且第一次只结合前一句的一个条件1/5分析，很容易，下一步，再把4/5结合第一天的100 米一起分析，还是简单的乘法；恰如一个重担，一个人挑不动，分两次，就容易了，这就是一个具体方法，方法的细节。’这就是难题分解， 把高难度的奥数题分解成简单的加减乘除。分解成普通学生都能解的题。可以看出，到现在为止，分解以后，都是简单的，一步就看出来的基本题。

“好，总结一下，这次你们就是‘按条件分析’，一点一点，先把第二句1/5与 100 米分开，同时把第三句的两个条件分开，4/5和2O米分开，先求1/5的4/5，可求，然后 100 米的4/5也可求，这里必须一点一点分析，千万不能一句一句分析；因为一句里有两个条件，第二句又有两个条件，四个条件一齐想是不可以的，不叫分解了，又叫大杂烩了。

好，记下来，现在可以看第三句的下半句了”下半句是“,,,,,,,4/5多20 米，现在不必考虑4/5了，只要求多2O米数就行了，看如下图：

一一l

前面已经得出的结果 100×4/5=80 米，比 80 米多 20米是 100 米，又是一个 100 米，”老师说：“画上去”，”现在可以看下面一句’：‘第三天修 600 米’，也画上去”，看完第四句，也画上，看图想一想。

略停 10 秒，大多数同学都看出来了：1-1/5-4/25 所占全体的比例，就是 600+100+100 所占全体的比例，题目都明白了，当然也就做出来了。（600+100+100）÷（1-1/5-4/15）是总数。

这段时间是 6 分 40 秒，包括老师讲解、学生做题。

这一次，学生们不敢说什么都会了，只是问：还有什么细节方法

吗？看来，虚心、好学的习惯开始形成了。

理论

一．我们可以看到的是，分解法可以一句一句分解，也可以一个条件一个条件分解，这是细节，重要的细节。

为什么每一步要写下来？是，必须写，许多条件、有用的分析结果，在脑子里有个停留的过程，一秒不行，至少必须三秒，写下来需要三秒，如果在脑子里只停留一秒，容易忘记，等分析到了第三句，第四句，就记不清前面的分析洁结果了，如果忘记前面分析出来的任何一个结果，就可能解不出来。这是多次失败总结的教训。

二．“再想一下”这句话看来没什么，有人说‘我一次就想到了几个结果，用不着再想一下，实际上，90% 的学生需要再想，多数同学不能一步看出所有结果， 90 %的学生少了这个 再想几秒钟，该分析的没有全部分析出来， 就做不出来，就是好学生，有时也会少分析出一个结果，也是做不出来。”，所以细节也决定成败。要知道，解决占 90  %的中等水平学生，让他们成为优秀生，是多么重要，这是一个艰巨的任务，也是一个无比光荣的任务，仅仅只解决少数尖子生，意义不算大。

下面我们从理论上分析一下，这种方法的可靠性，可行性，可能的结果，还有多次的教训，以引起重视，达到效果，这样才可以彻底得到理论上的解决，将使你解决大量问题。

检验一个理论的完整，一个方法的可靠，也要看它是否解决多少问题。

首先我们要解的题都在课本的学习内容里，考大学不会考博士生学的定理，不可能超出中学课本这个范围。奥数也只能在这个范围里。书上定义、定律、公式会了，容易做的基本题应该会了，这时，如果学会难题分解，所有的难题都能分解成为容易做的简单题，那么各种题应该都能做，应该有这条路。

再者，所有要解的题目范围只能是: 学习过的定义、定理、公式的不同组合或者排列，这些定理、公式、定义（排列，组合的元素）、都在中学课本已知的定义、定理、公式里，超出去不可能的。

想把复杂的题——不同定义、定理、公式的排列组合，分解成它们原来的组成元素，肯定是可以的，必定有路的。分解之后就直接用定义定理解，它必定可以分解成一步头的、简单的题，基本概念题。只要上课听懂了的，中等水平甚至 60 分的，能做书上例题的，都可以做难题。

二、还是那个例子，一个人挑 200 斤不行，一般人都不行，如果把 200 斤分成 5 份，那么几乎每个人都能挑动一份，40 斤，只要掌握了分解的方法，人人都能解难题。一道题分解成5个简单题，这就是方法。

三、那位希林学院的老师看的很准，他说奥数题就是绕，绕了好几个弯子，学生不可能一步解出来，一眼看出来。

这个图从起点到终点，中间拐了六个弯子，不容易一眼就看到终点，一步看到结果， 但是，如果把六个弯子分解成六段直线，每段直线都是一眼能看出结果的题，都是直接用现成定理解的题，变成简单的四则运算，于是可解也。

四、正推为主，有人说倒背如流水平最高。我们不访试一下，倒背一个句子: 把‘某工程队修一段路’，倒过来：路段一修队程工某，你背背看？比顺背慢几倍？5 分钟以后还能记得吗？如果倒背一篇

文章，一天行吗?一天也不行，背完就全忘了，就没有头绪了，比顺着背难很多。

所以顺着推导，运算是轻松的，一步一步推出的结论，符合开始上课学习定理的过程，如果从结论倒推就累的多，做题也是，从一个个已知条件去分析，比较快；逆推有时可以用，但是尽量多用顺推， 符合学习的过程，比较容易。‘难题分解’着重顺着推导，大大减少难度。看题不要匆匆忙忙看完，一道题 3—5 个已知条件，每个条件又能分析出来几个结果，那么 3—5 个已知条件，就能得出十几个结果，这么多元素，同时堆在脑子里，好乱，难免丢掉 1—2 个，漏了一个结果就可能做不出来。

我们的难题分解，一个一个分析，就轻松的多，每一个条件都当成一道题，特别是第四个条件、第五个条件，一个条件必须当成一道题，认真分析，结合前面的每一个条件，结合前面的每一个结果，就可以把难题化解成容易的、简单题。如同剥洋葱，每剥一层，才能看到下一层，每分析一个条件，再能看到下一步道路。

如果把每一个已知条件都做为一道题，认真分析，记下结果，每次也就只分析出 2—4 个结果，不会漏掉，脑子不乱；再把结果放在一起，一对一对分析，所有结论都漏不掉，就容易解题；再说，分解以后，都是很容易的四则运算，每一步分析也就几秒钟。我们上面的分

如果怕考试时间不够，匆匆忙忙一气看完题，结果从最后一句求解去分析，成了逆推，增加了难度。快速看完题，短时间内，脑子里同时出现几个己知条件 十几个分析结果，那必然很乱，不可能清晰，失败的可能性很大。

疑难问题解答

每一步分析，可能有的结果用不着，但是不会漏，看来多用了十几秒，然而解一般难题，每一步十秒，一道题两分钟就是足可以解了。用过去的老式分析方法，也一定会分析出很多多余的结果，不比我们的方法省时间。通过多次实验，我们这种方法，解题速度不但不慢，反而很快，一般节省1/3 — 1/2 的时间。考试总是最早做完。

五、但是如果按过去的分析方法，匆匆忙忙看题，不小心漏掉一个分析结果，可能 10 分钟也做不出来。这才是真正耽误时间的地方， 所以不要担心一步一步分析会浪费时间，会分析多余的结果。实际上，每一步分析就是 5-10 秒，一道题 2-3 分钟就做出来了。

再说，没有做出来之前，无法判定那步分析是多余的。按过去的方法，一样必定会分析出一些多余的结果，这是解题过程必然发生的。当然一般性难题、不是很难的题，可以简单分析，对于奥数题、简单分析是不行的，只有细细分析。顺利做出来，反而是最快的。

配套方法

与本方法配套的分支方法还有几个，它们可以保证难题分解方法的实施。更重要的是，它们大大加快解题速度。

1、基本定理不懂，公式记不清，理解不深，怎么办？我们提供一套方法，叫‘融入数学体系法’，让你快速的记忆， 牢固的、准确的记忆。而且比较省时间。

2、粗心大意，似乎不是老师的责任，任何一步粗心，肯定得不了高分，解题过程中粗心，是解不下去的主要原因之一。

但是许多责任心强的老师会主动提出办法，帮助学生解决粗心， 我们针对各种粗心大意，提出解决的系统方法，包括一个个具体方法， 彻底解决粗心大意。定义为‘消除紧张法’，数据证明，我们这套方法，学生基本上不再粗心大意了。每次考试能增加 10—20 分。

3、预习，也就是自学，目前只有少数学生可以，老师提倡，但是多数学生做不到，或者匆匆预习，太肤浅，没达到要求。如何普及到每一个学生。让每个学生都会自学，包括读书的速度，预习的程序， 检查的标准，又是一套方法。

对不起，一篇文章太长了，我们下次再聊，我们将发表系列文章， 和大家一起探讨学习方法，欢迎同学们，老师们，朋友们来信，再见。

刘元澄先生

【作者简介】刘元澄，1945年5月25号出生，美籍华人，美国华尔街报记者兼办公室主任。安徽同乡会主席。

责任编辑：孙克攀